莫利定理(Morley's?theorem),也稱為莫雷角三分線定理。將三角形的三個內角三等分,靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點,則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

中文名

莫利定理

外文名

Morley's?theorem

別名

莫雷角三分線定理

提出時間

分類

數學

三角形

莫利正三角形

見載刊物

《數學名詞》科學出版社

內容

將三角形的三個內角三等分,靠近某邊的兩條角三分線相交得到一個交點,則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。

證明方法

該定理以其美妙和證明困難著稱,到目前為止,已經有很多證明方法。

證法一

設△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ為各角的三等分線,三邊長為a,b,c,三內角為3α,3β,3γ,則α+β+γ=60°。

在△ABC中,由正弦定理,得AF=csinβ/sin(α+β)。

不失一般性,△ABC外接圓直徑為1,則由正弦定理,知c=sin3γ,所以AF=

(sin3γ*sinβ)/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin2γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=

2sinβsinγ(√3cosγ+sinγ)=4sinβsinγsin(60°+γ).

同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β)

∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]:[4sinβsinγsin(60°+β)]=sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE

∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得,CED=60°+α

FED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60

∴△FED為正三角形。[1]

證法二

∵AE:AC=sinγ:sin(α+γ),

AF:AB=sinβ:sin(α+β),

AB:AC=sin3γ:sin3β,

∴AE:AF=(ACsinγ/sin(α+γ)):(ABsinβ/sin(α+β)),

而sin3γ:sin3β=(sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ)):(sinβsin(60°+β)sin(60°-β)),

sin(α+β)sin(60°-β)=sin(α+γ)sin(60°-γ),

∴AE:AF=sin(60°+β):sin(60°+γ),

∴在△AEF中,∠AEF=60°+γ,

同理∠CED=60°+α,

∴∠DEF=60°,

同理∠DFE=60°,

∴△DEF為正三角形。